OCTUBRE

Primera Clase ( 29/09/2015)

 Indicaciones  generales sobre  el Blog, la forma de calificación de tareas

 Números Complejos(C)

Es una generalización de los números reales, los  cuales tienen parte real e imaginaria (complejos). Se llama así al número y se designa por la letra i.

Se puedes escribir de diferentes formas:

1)FORMA CARTESIANA{z=(a,b)} : 

Los números (a,0) son números reales
 Los números (0,b) son números imaginarios puros
 La primera componente(a) es la parte real y la segunda componente(b)  es la parte imaginaria 
NOTA:  z1=(a1,b1)    y z2=(a2,b2); Si z1=z2 si y solo si  a1=a2 y b1=b2,Por tanto son iguales si sus partes reales e imaginarias son iguales.

OPERACIONES:

SI z1=(a1,b2) y z2= (a2,b2)

a) Suma: La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.  Clausurativa, Conmutativa y Asociativa.

 z1+z2=(a1+a2,b1+b2)

b)Resta: La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

 z1-z2=(a1-a2,b1-b2)

c)Multiplicación: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a1 ,b1) · (a2 , b2) = (a1.a2 − b1.b2) ; (a1.b2 + b1.a2)

Potencias de la unidad imaginaria

i⁰ = 1               i¹ = i               i² = −1            i³ = −i                         i⁴ = 1  

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i²² 

  i²² = (i⁴)⁵ · i² = − 1  

SEGUNDA CLASE(30/09/15)

2)FORMA ALGEBRAICA(z=a+bi): 

El número complejo z se representa por una expresión algebraica a+bi, donde a es la parte real y b el componente imaginario.  

Multiplicación:

Si z1=(a+bi) y z2=(c+di) .Encontrar z1.z2

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

PROPIEDADES

Clausurativa

 Dados dos complejos a + bi y c + di por tanto su producto también es un complejo

Conmutativa

Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

Distributiva 

Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:

(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )

EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

CERO COMPLEJO: z= 0+0i

Si z1=(a1+b1i) y z2=(a2+b2i)

ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: z2=(0+0i)

ELEMENTO INVERSO ADITIVO: z2=(-a1-b1i)

ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: z2=(1+0i)

EL CONJUGADO DE Z :  z = (a − bi )

MÓDULO DE Z: 

 

 ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO:

PROPIEDADES:

 

 TERCERA CLASE (6/10/2015):

3)FORMA POLAR 

 

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = r_α

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Forma Trigonométrica       

 z = r_α = r (cos α + i sen α)

4)FORMA EXPONENCIAL 

 

La ecuación

e^iθ = cos θ + i sen θ

que define el símbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compacta mente en forma exponencial:

z = re^iθ

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Sean  y . Entonces:

 Potencias y raíces de un número complejo dado en forma polar: 

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces el argumento del complejo dado.
 

Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos, que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y por argumento dando valores a la k (0, 1, 2, 3, …, n – 1) se obtienen todas las soluciones.

CUARTA CLASE(7/10/2015):

LUGARES GEOMÉTRICOS

Un lugar geométrico en el plano complejo, representa un conjunto de números complejos que generan curvas o regiones. 

CIRCUNFERENCIA:

 

CÍRCULO:   

 |z-z0| ≤ r

 

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA  

Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x ∈D otro número real y = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:
Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo  z ∈D otro número complejo  w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ.

El conjunto  D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f.
Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.     

  REPRESENTACIÓN GRÁFICA 

 

 

-No es posible representar w=f(z),ya que se requiere hacerlo en R

-Existen varias opciones para representar gráficamente un f(z)

          a)La parte real Re{f(z)}

          b)La parte imaginaria {f(z)}

          c)Su modulo |z|

          d)Su argumento principal 

-Se puede representar los ceros y los polos

-Trazar en el plano complejo las curvas  de nivel de la parte real e imaginaria

TRANSFORMACIONES DEL PLANO COMPLEJO

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo.

Resumen referente a lo ya recibido (Numeros Complejos)

QUINTA CLASE (13/10/2015) 

 

LIMITES Y CONTINUIDAD 

 

$Sea\; L$  el límite de la función compleja $f\left(z\right)$ cuando $z$ al número complejo $z_0$, ${lim}_{z\to z_0}f\left(z\right)$ = L, si:

• $f\left(z\right)$ está definida en un entorno de la función $z_0$ (números complejos próximos a $z_0$, excepto quizás el mismo $z_0$).
• Los valores de $f\left(z\right)$ se aproximan a $L$ tanto como se quiera, y esto se consigue haciendo que $z$ se aproxime a $z_0$ con cualquiera de las trayectorias posibles. 

Si se verifica que: 

PROPIEDADES

 

  CONTINUIDAD

Para dotar de rigor al tratamiento del cálculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario           precisar la noción de continuidad.

 

    Esta, es una de las ideas más importantes y fascinantes del análisis matemático, que ha abierto la                   necesidad    y el camino para nuevos cursos de estudio y creación, entre ellos por ejemplo los espacios         métricos y los     espacios topo lógicos en general.

    Para introducirse en la concepción de la noción de continuidad es más sencillo pasar por el significado de     su  opuesto lógico: la falta de continuidad.

    Un primer acercamiento a la idea podría ser: “Los puntos x próximos al punto a no tienen una aplicación        f(x) próxima a f(a)”.

  


La función se dice que es continua en un subconjunto, A, de C si es continua en cada punto de A.

También se debe tomar en cuenta:

 

SEXTA CLASE (14/10/2015)

 DERIVACIÓN

 

Una función de variable compleja , se dice que f es divisible  si:

Siempre y cuando el Limite exista

NOTA:Las propiedades y reglas  de derivación de las funciones  de variable real se pueden aplicar para las funciones de variable compleja 

Cuando existe la derivada, es decir el límite del cociente , se suele decir que la función f es derivable en el punto:

  

 

  La definición de derivada para variable compleja lleva implícito que el límite es doble, es decir, el incremento ∆z debe tomarse sobre todo un vecinal V (a) en su intersección con el dominio.

Por lo tanto si se incrementa z sobre un camino cualquiera γ, el límite del cociente  es constante.

En particular, el límite del cociente  es el mismo (e igual a la derivada en el punto) a lo largo de cualquier recta que pase por a. Esta es una condición necesaria pero no suficiente, como se verifica en la función:

 

SÉPTIMA CLASE(20/10/2015)

 ECUACIONES DE CAUCHY -RIERNAM 

 

Una función  de variable compleja , se dice que f(z) es una función  analítica. De su dominio si cumple 

 

También se escribe:

Ux=Vy   ^   Uy=Vx 

TEOREMA 

Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y) una función compleja definida en una región D, que contiene al punto Zo y que u^v tienen primeras derivadas parciales continuas y además  satisfacen  las ECR en Zo, entonces existe f`(Zo).

 

FUNCIONES ANALÍTICAS 

 

Diremos que  es analítica en el punto Zo E D,si f esta  definida  y es derivable  en alguna vecindad de Zo , es decir``f`` es analítica  en Zo  si existe un disco  de centro Zo  y radio r,tal que f este definida en ese disco. 

-Una función  analítica, suele  también llamarse REGULAR .

-La derivada   de una función  analítica es analítica

-Si f(z) es analítica  en todo el plano complejo,se denomina Función Entera. 

FUNCIONES ARMÓNICAS 

Si la función  es analítica en D , entonces 

 

Se dice  que u(x,y) + v(x,y) son FUNCIONES ARMÓNICAS,si satisfacen las ecuaciones de Laplace.

Uxx+Uyy =0 ^Vxx +Vyy 

OCTAVA CLASE(27/10/2015)

FUNCIONES TRASCENDENTALES BÁSICAS 

1)Exponencial: f(z)=e^z=exp(z) 

PROPIEDADES 

2)Logarítmica :

PROPIEDADES 

3)Trigonométricas: 

PROPIEDADES 

4)Hiperbólicas: 

PROPIEDADES 

NOVENA CLASE(28/10/2015) :

Ejercicios en clase 

Revisión de la prueba 1