NOVIEMBRE

Primera Clase (04/11/2015)

Integración en el Plano Complejo

Las definiciones de integrales en el plano complejo son similares  a los integrales de unciones reales de dos variables.

Se aplican las reglas y propiedades  de integración  de las funciones de variable real ,salvo el caso  en que  las funciones carezcan de anti-derivada.

Los números reales se representan en una recta  como intervalos ,entonces tienen sentido  las sumas de Rieman.

Los números complejos  se representan  en el plano   complejo ,lo cual  nos lleva a considerar las integrales de linea , sobre una curva ,en lugar de las sumas  de Rieman.

Integral de Linea 

En las integrales  cerradas  se representan  novedades ,tales como  las integrales de Cauchy ,que son propias  de los números complejos. 

Integral Cerrada

Integral Indefinida

-Si f(z)  tiene anti-derivada se puede evaluar  la integral indefinida.

Integral  de Linea 

Curvas en el Plano Complejo:

La curva en el plano complejo ,es el conjunto  de puntos  ( x,y),tales que:

Donde:

x: I -> R                                y: I -> R

     t-> x = x(t)                             t-> y = y(t)

I< R; Son funciones de  variable real 

La curva representa en forma paramètrica 

Donde:

-a,b ,son extremos del intervalo [a,b].

-z (a);z (b) son los puntos  inicial y final  de la curva ,o también  llamados extremos  de la curva.

- Si z(a) = z(b), entonces la curva  es una curva cerrada 

-La dirección  positiva de la curva  es en sentido  que ``t`` se incrementa.

-Si x(t) ^ y(t),son continuas en [a,b] y sus primeras derivadas también lo son ,entonces

z'(t) = x'(t)+iy'(t)

x'(t)≠0       y     y'(t)≠0

Simultáneamente,se dice que es una curva suave(sin picos). 

-Una curva que no representa entre crecimiento  o puntos dobles ,Se llama curva suave 

Parametrización:

• Para rectas teniendo dos puntos Ɣ: z(t)=zo+t(zf-zo)  0<=t<=1

• Para circunferencias: x=rcos(t)  ^  y=rsen(t)  

• Para elipses x=acos(t)

Integrales de Linea 

Propiedades:

1. Sea f(x) una función continua y gama una curva suave o suave por intervalos, entonces:

2. La integral de la suma es igual a la suma de las integrales.

3. La constante que multiplique a la función de integración puede salir fuera de la integral.

4. La integral de una función sobre una curva es igual al negativo de la integral sobre el negativo de la curva.

 5. Si gama es una curva suave representada por z=z(t), para un t entre a y b, y f(z) es continua en C, entonces:

Segunda Clase (10/11/2015)

Integrales Cerradas

Las integrales cerradas se evalúan de igual forma que las integrales de linea  la única diferencia es que la curva  debe ser  una curva cerrada.

DOMINIO SIMPLEMENTE CONVEXO 

-D es un dominio simplemente conexo si solamente tiene  todos los puntos, D se puede decir  que es aquel que no representa agujeros.

1)Teorema de la Integral de Cauchy:

-Sea f(z) una función  analítica en D ,un dominio simplemente conexo y una curva simplemente cerrada,Entonces:

- función analítica

-Dominio Simplemente Convexo

-Curva Simple Cerrada 

Tercera clase (11/10/2015):

2) Si  f es analítica en una  dominio D ,simplemente  conexo la integral ,es independiente de la trayectoria en D.

La curva cerrada simple que se forma  por las dos  trayectorias  gamma 1 ^ gamma 2,permite afirmar

3) Teorema de la deformación :

-Sea f(z) una función analítica  es D,excepto en Zo y seas C^D curvas cerradas simples que encierran  a Zo,Entonces:

Integrales de Cauchy

1) Si f(z) es analítica en un dominio D,simplemente conexo y sea gamma una curva cerrada simple que encierra a Zo,entonces:

COROLARIO:

2) Si  f(z) es analítica en D,simplemente conexo en sea Zo en  D ,entonces f(z) tiene derivadas de orden ``n`` y la n -èsima  derivada f(z) es.

COROLARIO:

Cuarta Clase (17/11/2015):

Sucesiones y Series de Variable Compleja

SUCESIONES

-Las sucesiones y series de variable compleja son  similares a las de variable real .Para determinar su convergencia  se utilizan  los criterios  de convergencia de sucesiones y series reales.

-La serie  de Laurent es propia de los números complejos  y es una generalización  de la serie de Taylor.

Definición: 

-Una sucesión compleja  es una de las funciones  naturales en los complejos 

-Los elementos de esta sucesión son:

-Las sucesiones se denotan:

PROPIEDADES:

1)  Sipara cada positivo n y si L = a + ib, entonces:

2)

3)    

4)

5)

SERIES

-Al igual que los reales ,una serie es la suma de los elementos  de una sucesión  y se denota por.

La convergencia de la serie compleja  se realiza  analizando  las series reales que la conforman .

PROPIEDADES:

 Sea 

;entonces

1) Si  

converge si y solamente siconvergen

2) Si converge a "a"  ^ converge a "b" ;entoncesconverge a  "a+bi".

3) Si converge, entonces 

La propiedad también se puede decir:

SERIES ESPECIALES

1) Serie Geométrica: 

i)Converge si lzl<1

ii)Diverge si lzl≥1

2) Serie Armónica: 

Es Divergente

3) Serie ``p``:

i)Converge si  p > 1 

ii)Diverge si p ≤ 1 

Quinta Clase (18/11/2015):

Criterios de Convergencia

1) Criterio de la razón:

2)Criterio de la raíz:

3)Criterio de la comparación: 

Ejercicios:

Sexta Clase(24/11/2015)

Revisión  de la Segunda PRUEBA 

SERIES DE POTENCIAS

PROPIEDADES:

Sea para cada n y suponiendo que entonces se deducen dos posibilidades:

1. Si 0<R<1 , entonces   es convergente.
2. Si R>1 , entonces   es divergente.

BIBLIOGRAFÍA

Anónimo. (s.f). Series y Sucesiones. Recuperado el 26 de noviembre del 2015, de http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/series_inf2.htm

Anónimo. (2006). Derivada de Funciones de Variable Compleja. Recuperado el 22 de noviembre del 2015, de http://www.matap.uma.es/~jjsaame/vca2006-07_archivos/restema3.pdf

Anónimo. (2009). Series de potencia.Desarrollo en series de Taylor. Recuperado el 27 de noviembre del 2015, de https://bjglez.webs.ull.es/09-seriespotencias.pdf 

Mamtap (2006). Función compleja de una variable compleja. Recuperado el 15 de Octubre de 2015 de http://www.matap.uma.es/~jjsaame/vca2006-07_archivos/restema2.pdf

Nuñez (2008).Números complejos y Funciones de variable compleja. Recuperado el 24 de Octubre de 2015 de http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2008B/S012_C34.pdf

UCLM (2006).  DERIVACION COMPLEJA. Recuperado el 30 de Octubre de 2015 de https://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/CauchyRiemann.pdf

MANTILLA, M. (2015). Clase de Matemática Avanzada. En Escuela Politécnica Nacional.