Matemática Avanzada: DICIEMBRE

PRIMERA SEMANA

SERIES DE TAYLOR

Si una función es analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, la cual es similar a la serie de funciones reales.

Propiedad 1:

Si f es analítica en Zo entonces f puede tener un desarrollo mediante una serie de Taylor

Ejemplo:

OBSERVACIÓN:

Si el desarrollo se realiza alrededor de Zo=0,entonces la serie toma el nombre de SERIE DE MACLAURIN

Por Sustitución:

Por División:necesitamos q las funciones sean fraccionarias y deben ser polinomios de grado n en el numerador y en el denominador.

Por derivación:

Por integración:

NOTA

Si la función no es analítica en Zo no tiene desarrollo mediante la Serie de Taylor en Zo=0

SEGUNDA SEMANA

Series de Laurent

(Solo para números complejos)

Si f(z) no es analítica en Zo no admite desarrollo mediante la Serie de Taylor pero admite el desarrollo mediante la Serie de Laurent.

Propiedad 1:

Si f es analitica en el anillo :

entonces para:

Ejemplo:

2)Desarrollar en serie de Laurent la función

f(z)=13z−7 en potencias enteras de

SOLUCIÓN

La función es analítica en todo el plano complejo salvo en

z=7/3. La función es pues analítica en las coronas abiertas

0<|z|<7/3 y

7/3<|z|<+∞. Dividiendo el numerador y denominador de

f(z) entre

−7 y usando la suma de la serie geométrica obtenemos:

f (z) = - 1 7 1 1 - 3 7 z = - 1 7 \sum n = 0 + \infty (3 7) n z n (| 3 z / 7 | < 1) .

Tenemos por tanto los desarrollos

f (z) = \sum n = 0 + \infty - 3 n 7 n + 1 z n (0 < | z | < 7 / 3),

f (z) = \sum n = 0 + \infty 3 n - 1 7 n 1 z n + 1 (7 / 3 < | z | < + \infty) .

3) Desarrollar en serie de Laurent la función

f(z)=(4+i)z+3i−8z2+z−6 en potencias enteras de

SOLUCIÓN

(Resolución esquemática) La función racional dada es analítica en todos los puntos del plano complejo salvo aquellos que anulan al denominador. Resolviendo

z2+z−6=0 obtenemos

z=2,z=−3. La función es pues analítica en la tres coronas abiertas

0 < | z | < 2, 2 < | z | < 3, 3 < | z | < + \infty .

Descomponiendo en fracciones simples:

f(z)=…=i⋅1z−2+4⋅1z+3.

Llamando

f1(z)=1z−2,

f2(z)=1z+3 y procediendo como en el ejemplo anterior obtendríamos desarrollos de Laurent

(I),(II),(III) y

(IV) :

f 1 (z) = {(I) (I I) si si 0 < | z | < 2 2 < | z | < + \infty,

f 2 (z) = {(I I I) (I V) si si 0 < | z | < 3 3 < | z | < + \infty .

Entonces,

f (z) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ i (I) + 4 (I I I) i (I I) + 4 (I I I) i (I I) + 4 (I V) si si si 0 < | z | < 2 2 < | z | < 3 3 < | z | < + \infty .

TERCERA SEMANA

TEOREMA DEL RESIDUO

Singularidades:

Un punto Zo es un punto singular o una SINGULARIDAD de f(z),si f(z) es analítica en algún punto de toda la vecindad de Zo,excepto en Zo mismo.

Existen varios tipos de singularidades

SINGULARIDADES

1. Singularidad Aislada:

2. Singularidad de Polos:

3.Singularidad Removible:

4.Singularidad Esencial:

5.Singularidad al Infinito:

Residuos

Si la función f(Z) tiene un polo en Zj

El residuo de f en Z ; es " a-1" y se calcula mediante

Teorema del Residuo

Si f(Z) es analítica en D, excepto en Z1, Z2, Z3,...... Zj donde f tiene singularidades. Sea δ una curva cerrada suave a trozozs o suave por intervalos en D que encierra a Z1, Z2, Z3,...... Zj